知识点总结
核心概念：通过导数的符号判断函数的单调性。
若 \(f'(x) > 0\)，则 \(f(x)\) 在区间内递增
若 \(f'(x) < 0\)，则 \(f(x)\) 在区间内递减
若 \(f'(x) = 0\)，则 \(f(x)\) 在点处可能有驻点
驻点定义：导数为零的点称为驻点。
一阶条件：\(f'(x) = 0\)
二阶判别：
• \(f''(x) > 0\) → 极小值
• \(f''(x) < 0\) → 极大值
• \(f''(x) = 0\) → 需进一步分析
对应关系：原函数与梯度函数的特征对应。
| 原函数 \(y = f(x)\) | 梯度函数 \(y = f'(x)\) |
|---|---|
| 驻点 | 与x轴交点 |
| 递增 | 正值 |
| 递减 | 负值 |
| 拐点 | 极值点 |
应用领域：几何最值、物理变化率、经济优化等。
变化率：\(\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
最值问题：求导 → 驻点 → 判别 → 回代